Лист Мебиуса

В колонках играет - СБПЧ
 (700x434, 30Kb)
Настроение сейчас - Так себе

Лист Мёбиуса (другое название — Лента Мёбиуса) — топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Лента Мёбиуса была обнаружена независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 г. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана. Для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.
Близким «странным» геометрическим объектом является бутылка Клейна. Бутылка Клейна может быть получена путем склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трехмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.

Другое похожее множество — вещественная проективная плоскость. Если проколоть отверстие в вещественной проективной плоскости, тогда то что останется будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет проективная плоскость. Чтобы визуализировать это, полезно деформировать ленту Мёбиуса так, чтобы ее граница стала обычным кругом. Такую фигуру называют «пересеченная крышка» (пересеченная крышка может также означать ту же фигуру с приклееным диском, то есть погружение проективной плоскости в R³).

Существует распространённое заблуждение, что пересеченная крышка не может быть сформирована в трёх измерениях без самопересекающейся поверхности. На самом деле возможно поместить ленту Мёбиуса в R³ с границей, являющейся идеальным кругом. Идея состоит в следующем — пусть C будет единичным кругом в плоскости xy в R³. Соединив антиподные точки на C, то есть, точки под углами θ и θ + π дугой круга, получим, что для θ между 0 и π / 2 дуги лежат выше плоскости xy, а для других θ ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости xy).

Можно заметить, что если диск приклеивается к граничной окружности, то самопересечение получающейся проективной плоскости неизбежно в трехмерном пространстве. В терминах задания сторон квадрата, как было показано выше, вещественная проективная плоскость получается склеиванием двух оставшихся сторон с 'сохранением' ориентации.

Еще один подобный топологический объект (односторонняя поверхность) является логическим продолжением ленты Мебиуса. Визуально фигура имеет два квазизамкнутых трехмерных контура, которые на самом деле представляют собой один замкнутый двумерный контур. Фигура образована из квадратной плоскости с вытянутыми углами, у которой каждые два противоположных угла соединяются друг с другом (один из углов в каждой паре при соединении переворачивается). При этом одна пара противоположных углов соединяется с одной стороны квадратной плоскости, другая пара противоположных углов соединяется с обратной стороны квадратной плоскости. Таким образом, формируется выпукло-вогнутая седловидная поверхность с двумя элементами ленты Мебиуса.