Как решаются системы уравнений в 7 классе

как решаются системы уравнений в 7 классе

  • В 7 классе изучаются системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Это системы вида
    a1x + b1y + c1 = 0
    a2x + b2y + c2 = 0
    Решением такой системы называется пара чисел (x0,y0), при подстановке которой вместо пары чисел (x,y), то есть x0 вместо x, y=0 вместо y получаются два верных числовых равенства. Любая такая система может иметь единственное решение, бесконечно много различных решений, не иметь решений.
    В 7 классе рассматриваются следующие способы решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
    1. Способ алгебраического сложения.
    Суть способа состоит в том, что каждое уравнение системы умножают на некоторое число так, чтобы при одной из неизвестной оказались коэффициенты, равные по модулю и противоположные по знаку. Затем, полученные уравнения складывают и получают уравнение с одним неизвестным, которое легко решается. Полученное значение неизвестного подставляют в любое из двух уравнений и решают его относительно второго неизвестного.

    Пример

    Решить систему

    7х - 2у = 3
    2х + 5у = 12

    Умножим первое уравнение системы на 5, а второе на 2

    35х - 10у = 15
    4х + 10у = 24

    Сложим полученные уравнения

    35х - 10у + 4х + 10у = 15 + 24
    39х = 39
    х = 1

    Подставим это значение х, например, в первое уравнение

    7 - 2у = 3
    4 = 2у
    у = 2

    Ответ: х = 1, у = 2

    2. Способ подстановки

    Суть способа состоит в том, что в одном из уравнений выражают одну из переменных через другую, т. е. преобразовывают его так, чтобы в левой части содержалась чистое неизвестное, без коэффициентов, а правая часть не зависела от этого неизвестного. Полученное выражение подставляют в другое уравнение вместо неизвестной и решают уравнение с одним неизвестным. По выражению для другой неизвестной через найденную определяют второе неизвестное. Данный способ является самым распространённым среди семиклассников.

    Пример

    Решить систему (та же самая система)

    7х - 2у = 3
    2х + 5у = 12

    Выразим из первого уравнения у через х

    2у = 7х - 3
    у = (7х - 3)/2

    Подставим это выражение вместо у во второе уравнение.

    2х + 5*(7х - 3)/2 = 12
    2х + 17,5х - 7,5 = 12
    19,5х = 19,5
    х = 1

    Из выражения у = (7х - 3)/2 найдём н
    н = (7*1 - 3)/2 = 4/2 = 2

    Ответ: х = 1, у = 2

    3. Графический способ

    Суть способа состоит в том, что в каждом уравнении выражают одну переменную через другую, например, у через х, и строят в одной системе координат графики двух полученных линейных функций. Это будут две прямые. Координаты точки пересечения этих прямых (если они есть) составят ответ. Можно и не выражать одну переменную через другую, а просто выбрать два каких нибудь значения х, подставить каждое из них в первое уравнение и решить его относительно у. Получатся две точки, через которые можно провести прямую. Таким же способом построить и вторую прямую. Этот способ является самым наглядным, потому что он показывает, сколько решений имеет система.

    Пример

    Решить систему (та же самая система)

    7х - 2у = 3
    2х + 5у = 12

    Пусть х =0, тогда из первого уравнения определяем у = -1,5, из второго - у = 2,4.
    Пусть х =2, тогда из первого уравнения определяем у = 5,5, из второго - у =1,6.

    Значит первая прямая проходит через точки (0; -1,5) и (2; 5,5), а вторая - через точки (0; 2,4) и (2; 1,6). Строим эти прямые на одном графике:

    Из полученного рисунка видно, что прямые пересекаются в единственной точке с координатами (1; 2), значит система имеет единственное решение х = 1; у = 2.

    Ответ: х = 1, у = 2.